Soutenance de thèse : Théorie spectrale de l’opérateur de Pauli

Cette thèse est consacrée à l’analyse asymptotique du bas du spectre d’opérateurs en présence d’un champ magnétique fort en dimension deux. Dans un premier mouvement, on complète les travaux initiés par Ekholm, Kovarík et Portmann au sujet de l’asymptotique du spectre de l’opérateur de Dirichlet-Pauli sur un domaine annulaire. On décrit l’influence de l’effet Aharonov-Bohm mis en lumière par B. Helffer et M.P. Sundqvist. Dans l’esprit des travaux de J.-M. Barbaroux, L. Le Treust, N. Raymond et E. Stockmeyer, on s’attache ensuite à étendre ce résultat à l’opérateur de Dirac magnétique avec des conditions de masse infinie au bord d’un anneau. En adaptant une nouvelle caractérisation du spectre par une formule de min-max non linéaire, nous donnons le premier terme de l’asymptotique du bas du spectre positif. Enfin, on considère le Laplacien de Dirichlet avec un champ magnétique uniforme sur un guide d’ondes en dimension deux. Une condition suffisante est donnée sur la courbure et l’épaisseur du guide d’ondes pour assurer l’existence de valeurs propres dans la limite semi-classique. Ce résultat répond négativement à une conjecture formulée par P. Duclos et P. Exner.

Mots clés : analyse semi-classique, théorie spectrale, opérateur de Dirichlet-Pauli, opérateurs de Cauchy-Riemann magnétique, opérateur de Dirac magnétique, graphène, conditions du sac du MIT, effet Aharonov-Bohm, guide d’ondes.