Sur les billards polynomialement intégrables dans les surfaces à courbure constante – Alexey Glutsyuk

Alexey Glutsyuk
UMPA, ENS de Lyon
http://perso.ens-lyon.fr/aglutsyu/

Date(s) : 21/12/2018   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

La célèbre Conjecture de Birkhoff concerne un billard convexe planaire à frontière lisse. Rappelons, qu’une caustique d’un billard est une courbe C dont toute droite tangente se reflète de la frontière du billard en une droite aussi tangente à C. Un billard s’appelle intégrable au sens de Birkhoff, si un voisinage intérieur de sa frontière est feuilleté par des caustiques fermées. La Conjecture de Birkhoff affirme, que tout billard planaire intégrable au sens de Birkhoff est une ellipse. Récemment Vadim Kaloshin et Alfonso Sorrentino en ont démontré la version locale: toute déformation intégrable d’une ellipse est une ellipse. L’intégrabilité d’un billard au sens de Birkhoff est équivalente à l’intégrabilité au sens de Liouville du flot de billard: l’existence d’une intégrale première indépendante avec l’intégrale triviale, le module de la vitesse (au voisinage du fibré tangent unitaire de la frontière). La version algébrique de la Conjecture de Birkhoff, qui a été d’abord étudiée par Sergei Bolotin, concerne les billards polynomialement intégrables, dont le flot admet une intégrale première polynomiale en la vitesse qui est non constante le long de l’hypersurface de niveau unitaire du module de la vitesse.

Dans cet exposé, nous présenterons un survol court de la Conjecture de Birkhoff et la solution complète de sa version algébrique. Nous démontrons, que tout billard planaire polynomialement intégrable à frontière C2 lisse connexe non linéaire est une ellipse. Nous classifions les billards polynomialement intégrables à frontière lisse par morceaux sur toute surface à courbure constante: plan, sphère, le plan hyperbolique.
Ce sont des résultats en commun avec Misha Bialy et Andrey Mironov.

On polynomially integrable billiards in surfaces with constant curvature.

The famous Birkhoff Conjecture concerns a planar convex billiard table with a smooth border. Let us recall that a caustic of a billiard table is a curve C of which any tangent line is reflected from the border of the billiard table into a line also tangent to C. A billiard table is called integrable in the sense of Birkhoff, if a neighborhood inside its border is laminated by closed caustics. Birkhoff’s Conjecture affirms that any integrable planar billiard table in Birkhoff’s sense is an ellipse. Recently Vadim Kaloshin and Alfonso Sorrentino demonstrated the local version: any integrable deformation of an ellipse is an ellipse. The integrability of a billiard in the sense of Birkhoff is equivalent to the integrability in the sense of Liouville of the billiard flow: the existence of an independent first integral with the trivial integral, the modulus of the speed (in the vicinity of the unit tangent bundle of the border). The algebraic version of Birkhoff’s Conjecture, which was first studied by Sergei Bolotin, concerns polynomially integrable billiards, whose flow admits a first polynomial integral in the speed which is non-constant along the hypersurface of unit level of the speed modulus.

In this talk, we will present a short overview of the Birkhoff Conjecture and the complete solution of its algebraic version. We prove that any polynomially integrable planar billiard table with a connected nonlinear smooth C2 boundary is an ellipse. We classify polynomially integrable billiards with smooth border pieces on any surface with constant curvature: plane, sphere, the hyperbolic plane. These are joint results with Misha Bialy and Andrey Mironov. https://hal.archives-ouvertes.fr/ensl-01664204v1

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