Systèmes S-adiques toujours à spectre purement discret

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Date(s) - 13/04/2018
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Soit S un ensemble fini de substitutions sur un même alphabet A tel qu’il existe une lettre a telle que pour tout s dans S, s(a) commence par a.
Pour une suite (s_i) de S^\N, on peut alors considérer le mot infini limite de s_1s_2…s_n(a) quand n tend vers l’infini.
On s’intéresse au sous-shift engendré par ce mot.
J’ai démontré, en collaboration avec Shigeki Akiyama, que le sous-shift associé à tout mot du système S-adique formé des deux substitutions
a -> aab
b -> c
c -> a
et
a -> aba
b -> c
c -> a
est mesurablement conjugué à une translation du tore T^2.
Cet exemple de système S-adique est particulièrement simple puisque les deux matrices d’incidences sont les mêmes.
Mais une preuve un peu différente pourrait se généraliser à des systèmes S-adiques plus généraux, avec des matrices différentes, comme par exemple le système S-adique formé des deux substitutions a->ac, b->ab, c->b et a->ab, b->ac, c->a. C’est un travail en cours.

J’expliquerai la preuve de notre résultat avec Shigeki, qui est écrite et sera bientôt publiée, ainsi que l’idée pour traiter des systèmes S-adiques plus généraux.
La preuve repose en grande partie sur des calculs d’automates finis.
J’expliquerai comment on peut décrire une ligne discrète d’un mot provenant d’un système S-adique grâce à un automate fini, et quel est le lien avec les substitutions duales.
Et nous verrons comment l’on peut démontrer que l’on a un point intérieur exclusif dans un des morceaux de la fractale de Rauzy grâce à des calculs d’automates finis, et pourquoi cela permet d’obtenir la conjugaison mesurée avec une translation du tore T^2.

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