Philippe Souplet
LAGA - Université Sorbonne Paris Nord (Paris 13)
https://www.math.univ-paris13.fr/~souplet/index.html
Date(s) : 26/03/2024 iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min
Le théorème de Cauchy-Liouville établit qu’une fonction entière bornée d’une variable complexe est
nécessairement constante. Une propriété liée et également très classique est que ceci reste vrai pour toute
fonction harmonique bornée sur l’espace euclidien, en toute dimension. Dans le contexte des EDP, on entend
par théorème de type Liouville un résultat affirmant la nonexistence de solutions dans l’espace entier (ou
un domaine non borné approprié), les solutions étant parfois sujettes à certaines restrictions (e.g., non
constante, ou avec conditions de signe ou de croissance). De nombreux résultats de ce type, avec des
applications importantes, sont apparus au cours des années, conférant aux théorèmes de type Liouville un
rôle notable dans la théorie des EDP et mettant en évidence des connections fortes avec d’autres domaines
mathématiques (calcul des variations, géometrie, dynamique des fluides, contrôle optimal stochastique).
Après un bref détour historique (surfaces minimales – Lagrange, Bernstein, de Giorgi, Bombieri, …,
théorie de la régularité pour les systèmes elliptiques linéaires – Giaquinta, Necas, …), nous rappellerons les
développements des années 1980-2000 sur les problèmes elliptiques non linéaires, conduisant à des outils
robustes pour l’existence et les estimations a priori pour les problèmes de type Dirichlet (Gidas, Spruck,
Caffarelli, …), basés sur la combinaison de théorèmes de type Liouville et de techniques de renormalisation.
Dans une période plus récente, cette direction de recherche a conduit à des progrès dans l’étude des
singularités des solutions, tant pour les équations elliptiques que paraboliques. En particulier, dans le
cas des non-linéarités puissances, nous rappellerons l’équivalence entre théorèmes de Liouville et estimations
universelles, établie par une méthode de renormalisation-doublement (travail en collaboration avec P. Polacik
et P. Quittner, 2007).
Puis nous présenterons des développements récents qui montrent que, par des modifications appropriées,
ces méthodes de renormalisation peuvent être appliquées à des non-linearités sans invariance d’échelle, même
asymptotique, et dont le comportement est très éloigné de celui d’une puissance. Dans ce cadre, nous
montrons notamment que l’équivalence ci-dessus entre théorèmes de Liouville et estimations universelles reste
valide. Ceci conduit à des résultats nouveaux pour les problèmes elliptiques et paraboliques sans invariance
d’échelle, concernant les estimations des singularités en temps-espace, les vitesses d’explosion initiales et
finales, et les vitesses de décroissance en temps et/ou espace. Nous illustrerons enfin cette approche par des
exemples qui montrent l’optimalité des estimations et des hypothèses.
Emplacement
FRUMAM, St Charles (2ème étage)
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