Théorèmes de prolongement de Whitney pour les courbes dans les variétés sous-riemanniennes

Ludovic Sacchelli
LAGEPP, Université Lyon 1
https://sacchelli.github.io/

Date(s) : 04/02/2021   iCal
14 h 00 min - 15 h 00 min

On discute l’existence de prolongements réguliers de courbes satisfaisant une condition de compatibilité avec les développements de Taylor vis à vis d’une structure métrique sous-riemannienne. Dans le cas de métriques sous-riemanniennes équirégulières, l’approximation nilpotente permet de traduire cette question à une échelle infinitésimale dans un groupe de Lie obtenu par dilatation de la structure sous-riemannienne. Il apparaît alors que l’obstruction à l’existence de prolongement est liée à la présence de certaines trajectoires singulières isolées dans la variété sous-riemannienne éclatée. Cela permet notamment de caractériser certaines structures pour lesquelles le théorème de prolongement de Whitney est bien valable. Par des techniques de désingularisation, ces observations peuvent ensuite être étendues à des structures non équirégulières.

Whitney extension theorems for curves in sub-riemannian manifolds

We discuss the existence of regular extensions of curves satisfying a condition of compatibility with Taylor expansions with respect to a sub-Riemannian metric structure. In the case of equiregular sub-Riemannian metrics, the nilpotent approximation allows this question to be translated at an infinitesimal scale in a Lie group obtained by expansion of the sub-Riemannian structure. It then appears that the obstruction to the existence of a prolongation is linked to the presence of certain isolated singular trajectories in the exploded sub-Riemannian manifold. This makes it possible in particular to characterize certain structures for which Whitney’s extension theorem is indeed valid. By desingularization techniques, these observations can then be extended to non-equiregular structures.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01573353v3

 

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