Théorie de l’homotopie des ∞-catégories strictes (HDR Dimitri Ara)

Composition du jury

– Denis-Charles Cisinski, Universität Regensburg
– André Joyal, Université du Québec à Montréal
– Yves Lafont, Université d’Aix-Marseille
– Georges Maltsiniotis, Université Paris Cité
– Ieke Moerdijk, Universiteit Utrecht
– Carlos Simpson, Université Côte d’Azur
– Christine Vespa, Université d’Aix-Marseille
après avis des rapporteurs :
– Michael Batanin, Akademie věd České republiky
– André Joyal, Université du Québec à Montréal
– Carlos Simpson, Université Côte d’Azur

Résumé

Ce mémoire est une synthèse d’une série de travaux, pour la plupart réalisés en collaboration avec Georges Maltsiniotis, sur une généralisation ∞-catégorique de la théorie de l’homotopie des petites catégories, telle que développée par Quillen, Thomason et Grothendieck.
Plus précisément, nous développons une théorie de l’homotopie des ∞-catégories strictes vues à travers leur type d’homotopie classifiant. Pour définir ce type d’homotopie, on a besoin de réaliser, par exemple simplicialement, une ∞-catégorie stricte. Nous démontrons que les différentes réalisations usuelles sont équivalentes. On en déduit une notion d’équivalence de Thomason pour les ∞-catégories strictes.
Dans le but de généraliser les célèbres théorèmes A et B de Quillen, nous développons une théorie des tranches ∞-catégoriques. Nous définissons ces tranches par adjonction à partir d’une construction joint pour les ∞-catégories strictes que nous introduisons. Nous étudions les fonctorialités de cette construction et proposons de très générales conjectures de fonctorialité en termes de ∞-foncteurs dit de Gray.
Nous démontrons l’analogue ∞-catégorique du théorème A de Quillen, à savoir qu’un ∞-foncteur qui est localement une équivalence de Thomason est une équivalence de Thomason. Nous étendons ce théorème A au cas des triangles commutant uniquement à une transformation lax près. La preuve de ce résultat est basée sur une théorie des ∞-catégories comma que nous développons.
Nous démontrons un théorème B ∞-catégorique, affirmant que, sous des hypothèses adéquates, les ∞-catégories comma que nous avons définies sont des produits fibrés homotopiques. En particulier, sous ces hypothèses, les tranches sont des fibres homotopiques. Nous donnons quelques applications de ce résultat, notamment au calcul de modèles ∞-catégoriques pour les espaces de lacets et les espaces d’Eilenberg-Mac Lane.
Nous associons à tout complexe simplicial une ∞-catégorie stricte de nature géométrique dont nous conjecturons qu’elle modélise son type d’homotopie. Nous prouvons cette conjecture lorsque le complexe simplicial est subdivisé. En particulier, on obtient un modèle ∞-catégorique pour les CW-complexes réguliers.
Enfin, nous discutons l’existence d’une structure de catégorie de modèles « à la Thomason » sur la catégorie des ∞-catégories strictes munie des équivalences de Thomason. Nous réduisons cette question à une conjecture sur le comportement homotopique de certaines sommes amalgamées. Nous démontrons cette conjecture en dimension 2, obtenant ainsi une structure de catégorie de modèles pour les 2-catégories.