Un ensemble du plan peut-il être atteint uniformément par le mouvement Brownien ?

Étant donné un ensemble $E$ dans le plan et un point $x$ dans son complémentaire, le point auquel le mouvement Brownien partant de $x$ atteint $E$ en premier définit une mesure de probabilité, appelée mesure harmonique (qui apparaît naturellement en analyse… harmonique). On se demande si le mouvement Brownien arrive uniformément sur $E$, c’est-à-dire si la mesure harmonique et la mesure « naturelle » sur le bord de $E$ sont comparables. C’est le cas si $E$ est lisse, mais pas si $E$ est trop irrégulier, comme par exemple un Cantor auto-similaire. On verra qu’on peut construire des ensembles de Cantor (non auto-similaires) pour lesquels les deux mesures sont équivalentes.
(Travail effectué avec Guy David et Cole Jeznach.).