Unicité pour le problème inverse de Robin

Laurent Baratchart
INRIA, Sophia Antipolis
https://www-sop.inria.fr/members/Laurent.Baratchart/

Date(s) : 12/05/2014   iCal
14 h 00 min - 15 h 00 min

Le problème de Robin direct consiste, étant donné un domaine Ω et une conductivité σ dans Ω, à trouver une solution u de l’équation de conductivité div(σu) = 0 dans Ω, qui vérifie sur une partie Γ0 du bord Ω de Ω une condition de Neumann imposée : ∂u∕∂n = g, cependant que sur la partie complémentaire du bord Ω \ Γ0 on a la relation de Robin : ∂u∕∂n + λu = 0 où λ > 0 est une fonction définie sur Ω \ Γ0. Le problème inverse de Robin consiste à trouver λ sachant g et u sur un sous-ensemble de Γ0. L’équation de Robin est une version linéarisée de certains modèles de corrosion. La résolution du problème inverse de Robin est dans ce cadre une approche non destructive au contrôle de corrosion en appliquant un flux (e.g. de courant) sur une partie accessible du bord (i.e. Γ0) et en y observant la valeur de la solution (e.g. le potentiel électrique). La question que nous discutons est l’unicité de λ étant donnés g et u sur un sous-ensemble de mesure positive de Γ0. Les hypothèses sont que Ω est Lipschitz et borné, que σ est strictement elliptique: 0 < c < σ < C < et Lipschitz-continu (ceci peut-être quelque peu affaibli), que g est L2 0), et que λ est borné. Sous ces hypothèses, il y a une unique solution u ∈ W1,2(Ω) au problème direct. En dimension 2, il y a unicité de λ dès que Γ0 est de mesure strictement positive. Lorsque Ω est lisse, que Γ0 est d’intérieur non vide et que λ est continu ( par morceaux), ceci est classique, au moins pour les équations de Laplace et de Helmholtz, et ce en toute dimension. Le cas présent, qui est moins régulier et considère des conductivités plus générales, ne semble pas si bien connu. Il est intéressant de noter que, dans cette plus grande généralité, le résultat est faux en dimension supérieure à 2. Cette différence est due au fait que les ensembles de mesure non nulle du bord sont des ensembles d’unicité pour les fonctions holomorphes de classe Smirnov sur un ouvert Lipschitz, cependant que les gradients harmoniques sur la boule en dimension 3 peuvent s’annuler continument sur un ensemble de mesure positive de la sphère après un contre-exemple fameux de T. Wolff.

Uniqueness for inverse Robin problem

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01084428

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