Vers une classification des singularités ponctuelles des fonctions




Date(s) : 14/03/2016   iCal
10 h 00 min - 11 h 00 min

Différents outils mathématiques ont été introduits au cours du 20e siècle pour mesurer la régularité ponctuelle des fonctions; ils répondaient à des besoins de natures diverses :
– Tout d’abord, en 1916, Hardy utilise la notion d’exposant de Hölder pour préciser exactement la régularité en chaque point des fonctions de Weierstrass.
– En 1961, Calderon et Zygmund introduisent la régularité $T^p_\alpha$ pour disposer d’une notion de régularité ponctuelle mieux adaptée à l’action des opérateurs d’intégrale singulière.
– Dès les années 80, des spécialiste d’analyse du signal travaillent sur l’exposant de Hölder d’intégrées fractionnaires du signal dans les situations où celui-ci n’est pas modélisable par une fonction localement bornée.
Dans cet exposé nous montrons que la conjonction de ces deux idées, à savoir considérer des p-exposants d’intégrées fractionnaires, permet d’introduire une classification fine des singularités ponctuelles, au sein de laquelle deux nouveaux exposants jouent un rôle central : les exposants de lacunarité et de cancellation. Nous décrirons les propriétés de ces exposants, et les verrons à l’oeuvre pour revisiter quelques fonctions singulières et des processus aléatoires. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec Patrice Abry, Clothilde Melot, Roberto Leonarduzzi et Herwig Wendt.

Stéphane Jaffard, Laboratoire d’Analyse et Mathématiques Appliquées (LAMA), Paris

 

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