Pierre Dehornoy
Institut Fourier, Université de Grenoble-Alpes
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~dehornop/
Date(s) : 02/04/2021 iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min
Un partage sur une surface réelle est une multicourbe en position générique dont le complémentaire est bicoloriable.
A’Campo a associé à un tel partage sur le disque un entrelacs fibré dans la sphère S^3. Les entrelacs de partage généralisent en particulier les entrelacs algébriques.
Dans ce travail en commun avec Livio Liechti, on montre comment la monodromie d’un partage peut être exprimée comme produit de deux involutions particulières sur la surface, que nous appelons antitwists.
Réciproquement, tout produit de deux antitwists satisfaisant certaines conditions combinatoires provient de cette construction.
Cette équivalence permet de comparer les aspects combinatoires et géométriques des applications ainsi construites.
Par exemple on donne un critère simple pour qu’un produit d’antitwists soit pseudo-Anosov, et on en estime la dilatation.
Involutions on surfaces and monodromy of a partition
A partition on a real surface is a multicurve in generic position whose complement is bicolourable.
A’Campo associated such a partition on the disk with a fiber link in the sphere S ^ 3. Partition links in particular generalize algebraic links.
In this joint work with Livio Liechtenstein, we show how the monodromy of a partition can be expressed as the product of two particular involutions on the surface, which we call antitwists.
Conversely, any product of two antitwists satisfying certain combinatorial conditions comes from this construction.
This equivalence makes it possible to compare the combinatorial and geometric aspects of the applications thus constructed.
For example, we give a simple criterion for an antitwist product to be pseudo-Anosov, and we estimate its expansion.
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02302958
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A divide on a genus 2 orbifold O with 2 cone points, and the corresponding Ba’cfi-tiled surface
(https://arxiv.org/abs/1910.00851, fig.1)
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Slides: slides-Dehornoy-I2M-seminaire_Teich-Marseille-2021-04-02.pdf
Réponse de Pierre Dehornoy à la question : quel est le lien entre la surface de base et la surface de partage ? :
« La surface de partage et la surface à petits carreaux sont homéomorphes: la seconde est un modèle combinatoire de la première. Dans la présentation combinatoire à petits carreaux, les composantes de bord ont l’air d’avoir disparu: en fait elles correspondent aux coins des petits carrés.
Par contre ce qui n’a aucun lien, c’est la surface de base dont à part et dont on considère le fibré unitaire tangent et sur laquelle on dessine le partage: celle-ci peut-être de petit ou de grand genre, c’est presque indépendant du genre de la surface de partage.
En fait, c’est assez simple de voir que le nombre de petits carreaux de la surface de partage est égal au double du nombre de points doubles du partage, et la caractéristique d’Euler à l’opposé de ce nombre (-1 par petit carreau quoi), et le nombre de composantes de bord égal au double du nombre de composantes du partage. Tout ça permet très facilement de comprendre le genre de la surface de partage (et de voir que ce n’est jamais une sphère, et rarement un tore). »
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FRUMAM, St Charles
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